Marie-Hélène Descary, Université du Québec à Montréal

Title: Estimation de fonctions de covariance par complétion de matrice dans un cadre d'analyse de données fonctionnelles.

Abstract: Le terme «données fonctionnelles» est employé afin de décrire des objets complexes, tels que des courbes et des surfaces, qui peuvent être vus comme les réalisations d'une fonction aléatoire. La version fonctionnelle de l'analyse en composantes principales, qui repose sur l'utilisation d'opérateurs de covariance, joue un rôle fondamental dans l'analyse de ce type de données en réduisant leur dimension d'une façon optimale. Dans cette présentation, nous considérons le problème de l'estimation non-paramétrique d'un opérateur de covariance à partir d'un échantillon de données fonctionnelles observées de façon discrète, et ce, pour deux scénarios différents. Dans le premier scénario, nous supposons que les données observées proviennent de la somme de deux composantes non-corrélées, une lisse représentant les variations globales des données, et une non-lisse représentant les variations locales. Notre objectif est d'estimer l'opérateur de covariance de la composante lisse. Dans le deuxième scénario, nous supposons que les données sont sous forme de fragments, i.e. que les courbes sont seulement observées sur un sous-intervalle de leur domaine de définition [0,1], et à partir de ces fragments nous voulons estimer l'opérateur de covariance sur l'ensemble de son domaine de définition [0,1]x[0,1]. Pour chaque scénario, nous montrons que le problème d'estimation se traduit par un problème de complétion de matrice de rang faible, et nous construisons un estimateur non-paramétrique via une méthode des moindres carrés avec une pénalisation sur le rang. Nous illustrons la performance de notre méthode sur des données réelles et simulées, et développons la théorie afin de justifier la validité de notre modèle.