François Bergeron, UQAM

Event

Room PK-4323, Seminar LACIM, 201 Ave. President-Kennedy, Montreal, QC, H2X 2Y7, CA

Propriétés structurelles des espaces de polynômes harmoniques multidiagonaux

L’espace des polynômes harmoniques multidiagonaux est un $(GL_k imes S_n)$-module dont la structure semble de prime abord très compliquée, tout comme celle de ses généralisations rectangulaires potentielles (dont une description satisfaisante reste d’ailleurs à donner). Déjà le cas $k=2$ correspond aux nombreux travaux liés à la combinatoire de Catalan rectangulaire et aux fonctions stationnements associées; aux diverses conjectures (théorèmes) “shuffle”; aux polynômes de Macdonald et aux opérateurs associés; à l'algèbre de Hall elliptique; etc. Des avancées combinatoires ont été faites pour le cas $k=3$, mais encore là la structure est mystérieuse. Cela est encore plus vrai du cas général ($k$ quelconque), hormis le fait qu’on sache qu’il existe forme générique pour la description du caractère comme $(GL_k imes S_n)$-module (indépendant de $k$). Nous allons décrire une approche générale qui permet de clarifier toutes ces problématiques, tout en unifiant plusieurs questions et résultats du domaine: symétries, conjecture Delta, Schur positivité, etc. En particulier, de nombreuses propriétés observées ou démontrées des cas $kleq 3$ découlent alors naturellement dans cette nouvelle approche. De plus, elle rend naturelle la construction de modules qui “expliquent” la riche combinatoire liée aux fonctions symétriques qui apparaissent via les opérateurs de l’algèbre de Hall elliptique, et permet ainsi une généralisation au cas $k>2$.

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